FUNÇÃO EXPONENCIAL E LOGARÍTMICA
Prof. Elon Lages
u Qual é a caracterização da função logarítmica?
Provaremos a seguir que, entre as funções monótonas injetivas Â+ ® Â, somente as funções logarítmicas têm a propriedade de transformar produtos em somas. Antes lembremos que se f: Â+ ®  é tal que f(ax) = x para todo x Î Â então f(y) = loga y para todo y Î Â+, de acordo com a Observação no final da seção 6, pois x ® ax é uma função sobrejetiva de  em Â+. (Estamos supondo a > 0 diferente de 1.)
TEOREMA: (CARACTERIZAÇÃO DAS FUNÇÕES LOGARÍTMICAS) Seja f: Â+ ® Â uma função monótona injetiva (isto é, crescente ou decrescente) tal que f(xy) = f(x) + f(y) para quaisquer x, y Î Â+. Então existe a > 0 tal que f(x) = loga x para todo x Î Â+ .
DEMONSTRAÇÃO: Para fixar as idéias, admitamos f crescente. Outro caso é tratado igualmente. Temos f(1) = f(1.1) = f(1) + f(1), logo f(1) = 0. Provemos o teorema inicialmente supondo que exista a Î Â+ tal que f(a) = 1. Depois mostraremos que isto sempre acontece, logo não é uma hipótese adicional. Como f é crescente e f(a) = 1 > 0 = f(1), tem-se a > 1. Para todo m Î N vale
f (am) = f( a . a. ... a)
= f(a) + f(a) + ... + f(a)
= 1 + 1 + ... + 1 = m,
0 = f(1) = f(am . a-m)
= f(am) + f(a-m ) = m + f(a-m ),
logo f(a-m) = –m. Se com m Î Z e n Î N então rn = m, portanto
m = f(am) = f(arn) = f((ar)n) = n. f(ar)
e daí f (ar) = = r. Se x Î Â é irracional então, para r, s racionais tem-se
r < as =" f(ar)"> 0.
Consideramos agora o caso geral, em que se tem uma função crescente g: Â+ ® Â, tal que
g(xy) = g(x) + g(y),
sem mais nenhuma hipótese. Então g(1) = 0 e, como 1 <> 0. A nova função f: Â+ ® Â, definida por f(x) = , é crescente, transforma somas em produtos e cumpre f(2) = 1. Logo, pela primeira parte da demonstração, tem-se f(x) = log2 x para todo x > 0. Isto significa que, para todo x > 0, vale
x = 2f(x) = = ( )g(x) = ag(x),
com a = . Tomando loga de ambos os membros da igualdade ag(x) = x vem, finalmente: g(x) = loga x.
u Considere a transformação T : R2 ® R2, T(x,y) = (2x,y/2)
a) Qual é a imagem do retângulo de vértices (0,0), (0,4), (4,2) e (0,2) pela transformação T? Faça o desenho.
b) As duas figuras têm a mesma área?
c) Se considerarmos a transformação T(x,y) = (kx, y / k), k ¹ 0. As duas figuras têm a mesma área?
d) Analise o efeito da transformação T (para k=1) no gráfico da função h(x) = 1 / x , x > 0.
e) Como definir a função f (x) = ln x usando a noção de área sob a curva y = 1 / x ?
f) Use a noção de área sob a curva y = 1 / x e a desigualdade para concluir que .
a) (0, 0), (0, 2), (8, 1) e (0, 1)
·
·
·
·
2
4
6
8
0
1
2
Os pontos não representam vértices de um retângulo.
b) Se representasse um retângulo, teriam a mesma área.
c) Para cada número real k > 0, definimos a transformação (= função) T = Tk: Â2® Â2 , que associa a cada ponto (x, y) o ponto T(x,y) = (kx, ), obtido de (x,y) multiplicando a abscissa por k e dividindo a ordenada pelo mesmo k.
Um retângulo X de lados paralelos aos eixos, com base medindo b e altura medindo a, é transformado por T num retângulo X’ = T(X), ainda com lados paralelos aos eixos, porém com base kb e altura . Portanto X e seu transformado X’ = T(X) têm áreas iguais. Mais geralmente, T transforma toda figura F do plano numa figura F’ = T(F), cujas dimensões em relação a F são alteradas pelo fator k na horizontal e na vertical. Logo F e F’ têm a mesma área.
d) Seja
H = {(x, ); x > 0}
o ramo positivo da hipérbole eqüilátera xy = 1; H é o gráfico a função h: Â+ ® Â, h(x) = .
Dados a, b Î Â+ , o conjunto dos pontos (x,y) do plano tais que x está entre a e b e 0 £ y < x =" a," x =" b," t =" Tk:"> 0, as faixas e têm a mesma área.
Normalmente, a área de uma figura não é um número negativo. Mas às vezes é conveniente usar “áreas orientadas”, ou seja, providas de sinal + ou –. É o que faremos agora.
Convencionaremos que a área da faixa de hipérbole será positiva quando a < a =" b." rea =" área"> 0 se a < rea =" –área" rea =" 0." rea =" ." rea =" –ÁREA" rea =" ÁREA" rea =" ÁREA"> 0.
f(x) = ÁREA
·
Y
O
X
x’
x
1
f(x) = área
f(x’) = –área
n x = área da região hachurada
n x’ = – área da região pontilhada
Resultam imediatamente da definição as seguintes propriedades:
f (x) > 0 Û x > 1;
f (x) < rea =" ÁREA" rea =" ÁREA" rea ="1" rea =" 1." e =" 2,718281828459." rea ="1,"> 0.
Dividindo por x:
Tomando x = :
portanto:
para todo n Î N. Quando n cresce indefinidamente, se aproxima de 1, logo tende a e. Segue-se então destas últimas desigualdades que
n®¥
Este argumento ilustra bem claramente a vantagem que advém de se interpretar o logaritmo natural geometricamente: a noção de área é visualmente intuitiva, permitindo que se obtenham desigualdades como a que foi usada aqui.
n®¥A igualdade foi obtida a partir da desigualdade
(*)
válida para todo x > 0. Se considerarmos –1 <> 0 e 1 + x > 0. Portanto é válido ainda falar de n (1 + x). Observamos que o retângulo cuja base mede –x e cuja altura mede 1 está contido na faixa e esta, por sua vez, está contida no retângulo de mesma base e altura . Comparando as áreas destas figuras, vem
Dividindo os 3 membros pelo número positivo –x obtemos
(**)
As desigualdades (*) e (**) nos dão
ou seja,
conforme seja x > 0 ou –1 <> 0 ou < x =" ,">
Prof. Elon Lages
u Qual é a caracterização da função logarítmica?
Provaremos a seguir que, entre as funções monótonas injetivas Â+ ® Â, somente as funções logarítmicas têm a propriedade de transformar produtos em somas. Antes lembremos que se f: Â+ ®  é tal que f(ax) = x para todo x Î Â então f(y) = loga y para todo y Î Â+, de acordo com a Observação no final da seção 6, pois x ® ax é uma função sobrejetiva de  em Â+. (Estamos supondo a > 0 diferente de 1.)
TEOREMA: (CARACTERIZAÇÃO DAS FUNÇÕES LOGARÍTMICAS) Seja f: Â+ ® Â uma função monótona injetiva (isto é, crescente ou decrescente) tal que f(xy) = f(x) + f(y) para quaisquer x, y Î Â+. Então existe a > 0 tal que f(x) = loga x para todo x Î Â+ .
DEMONSTRAÇÃO: Para fixar as idéias, admitamos f crescente. Outro caso é tratado igualmente. Temos f(1) = f(1.1) = f(1) + f(1), logo f(1) = 0. Provemos o teorema inicialmente supondo que exista a Î Â+ tal que f(a) = 1. Depois mostraremos que isto sempre acontece, logo não é uma hipótese adicional. Como f é crescente e f(a) = 1 > 0 = f(1), tem-se a > 1. Para todo m Î N vale
f (am) = f( a . a. ... a)
= f(a) + f(a) + ... + f(a)
= 1 + 1 + ... + 1 = m,
0 = f(1) = f(am . a-m)
= f(am) + f(a-m ) = m + f(a-m ),
logo f(a-m) = –m. Se com m Î Z e n Î N então rn = m, portanto
m = f(am) = f(arn) = f((ar)n) = n. f(ar)
e daí f (ar) = = r. Se x Î Â é irracional então, para r, s racionais tem-se
r < as =" f(ar)"> 0.
Consideramos agora o caso geral, em que se tem uma função crescente g: Â+ ® Â, tal que
g(xy) = g(x) + g(y),
sem mais nenhuma hipótese. Então g(1) = 0 e, como 1 <> 0. A nova função f: Â+ ® Â, definida por f(x) = , é crescente, transforma somas em produtos e cumpre f(2) = 1. Logo, pela primeira parte da demonstração, tem-se f(x) = log2 x para todo x > 0. Isto significa que, para todo x > 0, vale
x = 2f(x) = = ( )g(x) = ag(x),
com a = . Tomando loga de ambos os membros da igualdade ag(x) = x vem, finalmente: g(x) = loga x.
u Considere a transformação T : R2 ® R2, T(x,y) = (2x,y/2)
a) Qual é a imagem do retângulo de vértices (0,0), (0,4), (4,2) e (0,2) pela transformação T? Faça o desenho.
b) As duas figuras têm a mesma área?
c) Se considerarmos a transformação T(x,y) = (kx, y / k), k ¹ 0. As duas figuras têm a mesma área?
d) Analise o efeito da transformação T (para k=1) no gráfico da função h(x) = 1 / x , x > 0.
e) Como definir a função f (x) = ln x usando a noção de área sob a curva y = 1 / x ?
f) Use a noção de área sob a curva y = 1 / x e a desigualdade para concluir que .
a) (0, 0), (0, 2), (8, 1) e (0, 1)
·
·
·
·
2
4
6
8
0
1
2
Os pontos não representam vértices de um retângulo.
b) Se representasse um retângulo, teriam a mesma área.
c) Para cada número real k > 0, definimos a transformação (= função) T = Tk: Â2® Â2 , que associa a cada ponto (x, y) o ponto T(x,y) = (kx, ), obtido de (x,y) multiplicando a abscissa por k e dividindo a ordenada pelo mesmo k.
Um retângulo X de lados paralelos aos eixos, com base medindo b e altura medindo a, é transformado por T num retângulo X’ = T(X), ainda com lados paralelos aos eixos, porém com base kb e altura . Portanto X e seu transformado X’ = T(X) têm áreas iguais. Mais geralmente, T transforma toda figura F do plano numa figura F’ = T(F), cujas dimensões em relação a F são alteradas pelo fator k na horizontal e na vertical. Logo F e F’ têm a mesma área.
d) Seja
H = {(x, ); x > 0}
o ramo positivo da hipérbole eqüilátera xy = 1; H é o gráfico a função h: Â+ ® Â, h(x) = .
Dados a, b Î Â+ , o conjunto dos pontos (x,y) do plano tais que x está entre a e b e 0 £ y < x =" a," x =" b," t =" Tk:"> 0, as faixas e têm a mesma área.
Normalmente, a área de uma figura não é um número negativo. Mas às vezes é conveniente usar “áreas orientadas”, ou seja, providas de sinal + ou –. É o que faremos agora.
Convencionaremos que a área da faixa de hipérbole será positiva quando a < a =" b." rea =" área"> 0 se a < rea =" –área" rea =" 0." rea =" ." rea =" –ÁREA" rea =" ÁREA" rea =" ÁREA"> 0.
f(x) = ÁREA
·
Y
O
X
x’
x
1
f(x) = área
f(x’) = –área
n x = área da região hachurada
n x’ = – área da região pontilhada
Resultam imediatamente da definição as seguintes propriedades:
f (x) > 0 Û x > 1;
f (x) < rea =" ÁREA" rea =" ÁREA" rea ="1" rea =" 1." e =" 2,718281828459." rea ="1,"> 0.
Dividindo por x:
Tomando x = :
portanto:
para todo n Î N. Quando n cresce indefinidamente, se aproxima de 1, logo tende a e. Segue-se então destas últimas desigualdades que
n®¥
Este argumento ilustra bem claramente a vantagem que advém de se interpretar o logaritmo natural geometricamente: a noção de área é visualmente intuitiva, permitindo que se obtenham desigualdades como a que foi usada aqui.
n®¥A igualdade foi obtida a partir da desigualdade
(*)
válida para todo x > 0. Se considerarmos –1 <> 0 e 1 + x > 0. Portanto é válido ainda falar de n (1 + x). Observamos que o retângulo cuja base mede –x e cuja altura mede 1 está contido na faixa e esta, por sua vez, está contida no retângulo de mesma base e altura . Comparando as áreas destas figuras, vem
Dividindo os 3 membros pelo número positivo –x obtemos
(**)
As desigualdades (*) e (**) nos dão
ou seja,
conforme seja x > 0 ou –1 <> 0 ou < x =" ,">
